Kedves z2!

>>Peldak nem osszehasonlithato nullsorozatokra:
>Tudok egyszerubbet is: a:={0,1,0,1,...} <?> b:={1,0,1,0,...}

Ezek a sorozatok nem nullsorozatok, es nem is konvergensek. Az elmelet
azonban csak a Cauchy-feltetel ertelemeben konvergens sorozatokkal
foglalkozik. Ebbol a szempontbol az en ket peldam megfelelo, sot a masodik
peldamban ezen kivul kizarolag pozitiv tagu sorozatok szerepelnek. Ezek
szerepe kiemelt, mivel a nulla valos szamnak megfeleltetett {0,0,0,...}
sorozattal a nullsorozatok kozul csak az allando elojeluek lehetnek "<",
vagy ">" relacioban. Az altalad feleirt sorozatoknak meg van az a haszna,
hogy a relaciok definiciojat ellenorizhetjuk vele. Ha a definialt relacio
szerint ez a sorozat osszehasonlithato, akkor rossz a relacio definicioja.

>Ez a ket sorozat csak _gyakorlatilag_ nem osszehasonlithato.
>Az U-ra vonatkozo 2-es feltetel alapjan vagy a paros, vagy a paratlan
>indexek halmaza eleme az U-nak, igy a ket sorozat kozul az egyik
>biztosan kisebb, mint a masik.

Felreertetted U definiciojat. Ha  A={i:a_i<b_i} indexhalmaz eleme U-nak,
akkor N\A nem lehet eleme U-nak a 4-es feltetel ertelmeben. Ezert a paros,
vagy paratlan indexhalmazok nem elemei U-nak. Furcsa is lenne, ha az
altalad fentebb emlitett divergens sorozatok osszehasonlithatok lennenek.
Az egesz nemsztenderd elmeletnek semmi ertelme nem lenne.

>Probald ki, hogy teljesulnek-e az "=", es a "<" relaciora
>vonatkozo feltetelek:
>az "=" refleksziv, szimmetrikus es tranzitiv,
>az "<" irrefleksziv, antiszimetrikus es tranzitiv kell legyen.

Ez elegge trivialis. Ha a sorozatok veges sok tagjanak kivetelevel minden
mas tagjaira teljesul a relacio, akkor a definiciobol kovetkezoen a
sorozatokra is teljesul.

>>Itt szerepel a termeszetes szamok halmazaira definialt m(A) mertek,...
>Van egy "apro" reszlet, amit azota se ertek, mit jelent az, hogy "m()
>vegesen additiv" ?

Szerintem ez nem erinti a lenyeget. Mindenesetre a jelenteset en ugy
kepzelem, hogy N barmely diszkjunt reszhalmazokra valo felbontasara a
reszhalmazok mertekeinek osszege mindig veges. Az a kerdes persze onmagaert
is erdekes, hogy igaz-e az elozo allitas m()-re.

>>... amely minden veges reszhalmazra nulla, egyebkent egy.
>Az nem szerepel a szovegben, hogy "egyebkent egy".

Valoban nem szerepel, de ugy gondoltam, hogy ez egy helyes ertelmezes.
Most, hogy rakerdeztel, ra kellett jonnom, hogy nem stimmel a mertek
definicioja, illetve a mertek alkalmazasa. A szovegben az van, hogy m(N) =
1, es m(A)=0 minden veges reszhalmazra, de szerepel az is, hogy minden
reszhalmaznak van 0 vagy 1 merteke. A problemat N valodi, de vegtelen
reszhalmazai okozzak, amelyekre nincs definialva a mertek, igy azutan lehet
talalgatni, mi is lenne a helyes. Az en korabbi feltetelezesem szerint a
vegtelen reszhalmazok ekvivalensek N-nel, ezert mertekuk is azonos. Azonban
most rajottem, hogy ebbol a mertekbol megsem jon ki a definiciokban a vart
"csak veges sok tagra nem igaz" minosites. Szandekom ellenere eppen az a
hiba allt elo, mint az altalad megadott divergens sorozatoknal.

A merteket a kovetkezo keppen kell tehat definialni:
m(A) = 0, ha A veges
m(A) = 1, ha m(N\A)=0, tehat a kiegeszito halmaza veges
m(A) = 0 egyebkent.
A relaciok definicioja valtozatlan:
{a_n} ekvivalens {b_n}  <=>   m( {i: a_i = b_i} ) = 1
{a_n} < {b_n}  <=>   m( {i: a_i < b_i} ) = 1

>Szamomra nem vilagos, hogy "m()" altalad javasolt ertelmezese mellett
>ezzel a definicioval a fent emlitett "a" es "b" sorozatokra az "a<b" es a
>"b<a" kozul csak az egyik teljesul (antiszimmetria).

Mint math, es en is irtuk, ez a rendezes nem teljes, tehat az is
elofordulhat, hogy sem "a<b", sem "b<a" nem teljesul, tehat egyaltalaban
nincs a "<" relacio ertelmezve nemely sorozatok kozott. A relacio
tulajdonsagai kizarolag ott, es akkor teljesulhetnek, ahol letezik relacio
ket sorozat kozott. A definicio (az ujabb definicio :) szerint pedig akkor
letezik relacio a sorozatok kozott, ha veges sok tag kivetelevel minden mas
tagra igaz ugyanaz a relacio.

Alternativ lehetoseg a mertek, es a relaciok definialasara:
m(A) = 0, ha A veges
m(A) = 1 egyebkent.
{a_n} ekvivalens {b_n}  <=>   m( {i: a_i nem = b_i} ) = 0
{a_n} < {b_n}  <=>   m( {i: a_i nem < b_i} ) = 0
Itt a relaciokat is at kellett fogalmazni, de eppen az elso levelednek
megfeleloen.

Udv: Takacs Feri

Kedves z2!

Nem figyeltem elegge, igy nem vettem eszre a kovetkezo pontatlansagot.

>Probald ki, hogy teljesulnek-e az "=", es a "<" relaciora vonatkozo
>feltetelek:
>az "=" refleksziv, szimmetrikus es tranzitiv,
>az "<" irrefleksziv, antiszimetrikus es tranzitiv kell legyen.

Az ekvivalencia valoban refleksziv, szimmetrikus es tranzitiv, de a "<"
relacio csupan aszimmetrikus (irreflexiv), es tranzitiv. Megjegyzem az
aszimmetria, es az antiszimetria kizarja egymast. Ugyanigy kizarja egymast
az aszimmetria, es a konnexitas is, ezert a "<" relacio mar csak ezert sem
definialhat teljes rendezest. Teljes rendezes csak a "<=" relacioval
lehetseges, amely refleksziv, antiszimetrikus, es tranzitiv, es ha meg ezen
kivul konnex, akkor teljes rendezes.

Udv: Takacs Feri

Ui: # relaco tulajdonsagai:
# reflexiv <=> minden x ( x # x )
# szimmetrikus <=> minden x, es minden y ( x # y => y # x )
# aszimmetrikus <=> minden x, es minden y ( x # y => nem (y # x) )
# antiszimmetrikus <=> minden x, es minden y ( x # y es y # x => x = y )
# konnex <=> minden x, es minden y ( x # y vagy y # x )
# tranzitiv <=> minden x, es minden y, es minden z ( x # y es y # z => x #
z )

> Felado :  [Hungary]
.....
> Hali!
> Nem tudja valki megmondani hogy a laposfergeknek milyen a
> "felepitese" azaz hogyan mukodhet a szervezetuk ha nincs nekik
> verkeringesuk?
"Nincs szukseguk" verkeringesre.
Viszonylag picik es csak nehany sejtretegbol all a szervezetuk.
Kis tavolsagokban a diffuzio kelloen hatekony a tapanyagok,
anyagcseretermekek, gázok szallitasahoz. (A hajszalereinktol joreszt mi
is igy "juttatjuk" el a kulonfele anyagokat a sejtjeinkhez) A bélureguk
szerteagazo a testen belul, ami hatekonyan biztosithatja azt, hogy ezek
az anyagok meg a test leg "tavolabbi" zugaba is eljuthassanak, avagy
elkerulhessenek onnan.

udv,

Gogy

Motto: a "nagy igazsagok" hattereben gyakran trivialis allitasok allnak,
trivialisan igazak, vagy trivialisan hamisak.

> (1) Legyen Hn a [0,1] intervallum adott racionalis felbontasa.
> Hn = { 0/n, 1/n ,..., (n-1)/n, n/n }
 
H1 = {0,1}
H2 = {0,1/2,1}
H3 = {0,1/3,2/3,1}
.....

> (2) Legyen Qn az elso n felbontas halmazanak unioja.
> Qn = Unio[i=1,..n] Hi

Q3 = {0,1/3,1/2,2/3,1}

> (3) Tekintsuk a Qn felbontasok sorozatat.
> { Q1, Q2, Q3 ,..., Qn ,.... }

> Tehat d(Hn,Hm) = |1/n-1/m| .

> (4) Vegyuk a Qn sorozat hatarerteket, hogy megkapjuk az osszes racionalis
> szamot tartalmazo halmazt.
> lim[ n -> inf ] Qn = lim[ n -> inf ] Hn = [0,1]

d(x,y) jelenlegi "definicio"-ja mellett

  d( Q[0,1], x ) ([0,1] intervallumba eso racionalisok),
  d( R[0,1], x ) ([0,1] intervallumba eso valosok),
  d( Qn, x ) 

nem ertelmezett, igy Q[0,1], R[0,1] nem lehet (a d(x,y) metrika szerint)
semmilyen sorozat hatarerteke, Qn pedig nem nevezheto (a d(x,y) metrika
szerint) konvergensnek.

Erre egy naiv riposzt az, hogy Q[0,1] es R[0,1] is "egyenlo lepeskozu", csak
a "lepeskoz"=0. Hiba lenne ezt mondani, de teljesen elfogadhato egy d1(x,y)
fuggvenyt igy definialni:

d1(x,y) = | m(x) - m(y) |, ahol

m(x) = 1/n, ha x=Hn
     =   0, ha x=Q[0,1] vagy x=R[0,1]

Itt mar bajban is vagyunk, hiszen d( Q[0,1], R[0,1] ) = 0, ami a metrikara
vonatkozo kovetelmeny miatt csak akkor lehet, ha Q[0,1] = R[0,1]. Sajnos ez
nem igaz, hiszen R[0,1] -nek vannak olyan elemei (megpedig az irracionalis
szamok), amik nem elemei Q[0,1]-nek, igy nem lehetnek azonosak. Ebbol
kovetkezik, hogy a d1(x,y)-t metrikakent "megorizni" csak akkor lehet, ha
eltekintunk valamelyk intervallumra vonatkozo ertelmezettsegetol.
Definialunk tehat egy d2(x,y)-t:

d2(x,y) = | m(x) - m(y) |, ahol

m(x) = 1/n, ha x=Hn
     =   0, ha x=R[0,1]

m(Qn) definialasaval folytatodnak a bajok, ugyanis Q3-ban ketfele "lepeskoz"
is szerepel: 1/3, es 1/6. Hiba lenne m(Qi)-nek 1/j -t tekinteni, mert ekkor
d1(Qi,Hj) = 0 -bol Qi = Hj kovetkezne, ami nyilvan nem igaz, ha i>1, j pedig
egy tetszoleges termeszetes szam.

Ebbol kovetkezik, hogy a d2(x,y)-t metrikakent "megorizni" csak akkor lehet,
ha eltekintunk a Qn-re, vagy Hn-re vonatkoztatasatol. Definialunk tehat egy
d3(x,y)-t:

d3(x,y) = | m(x) - m(y) |, ahol

m(x) = 1/n, ha x=Qn
     =   0, ha x=R[0,1]

Az allitasod igy a kovetkezove alakul:

lim[ n -> inf ] Qn = R[0,1], ami mostmar ertelmezheto is a kovetkezokeppen:

Minden e>0 szamhoz letezik n0>0, hogy ha n > n0, akkor d3( Qn, R[0,1] ) < e

d3( Qn, R[0,1] ) = | m(Qn) - m(R[0,1]) | = m(Qn) = 1/n < e,
ami igaz, ha n > n0 >= 1/e  tehat bizonyitottuk az allitast.

Mit is bizonyitottunk ? Azt bizonyitottuk be, hogy n minden hataron tuli
novekedesevel a "felbontasok lepeskoze" (1/n) minden hataron tul kozeledik a
nullahoz.

Ez meg egy trivialisan igaz allitas.

---

Ketlem hogy be lehetne bizonyitani, hogy tetszoleges {Qn} R[0,1]-beli
racionalis szamok halmazaibol allo sorozat "R[0,1]-e valik".

Ehhez egy olyan metrika kene, amire d(lim {Qn}, R[0,1]) = 0 es d(lim {Qn},
Q[0,1]) != 0 egyszerre teljesul.
Ha ugyanis d(lim {Qn}, Q[0,1]) = 0, akkor d( Q[0,1], R[0,1] ) = 0 alapjan,
Q[0,1] = R[0,1] kovetkezne, ami nyilvanvaloan nem igaz.

{Qn}-nek ezek szerint ugy kellene R[0,1]-hez konvergalnia, hogy kozben nem
konvergalhat Q[0,1]-hez.
Ez pedig kielegithetetlen feltetelnek tunik a szamomra.


z2